Тут есть математики?

[Степан Нихто]

В общем, дело такое.

 

Есть функция

у = 10х*(1-х)^9

 

х в пределах от 0 до 1.

 

Надо найти, при каком значении х - у имеет максимальное значение.

 

То, что это 0,1 ясно без всяких формул - но нужно математическое обоснование.

[Trotil]

оффтоп: cмахивает на схему Бернулли с одним успехом (или промахом).

А по теме: нужно брать производную, искать критические точки...

[gss]

Взять первую производную, найти точки, в которых она равно 0. Это будут критические точки.

 

Далее - взять вторую производную и вычислить её значение в найденных точках. Положительное значение второй производной даст точки минимума; отрицательное - точки максимума; нулевое - точки перегиба.

 

Да, необходимо не забыть проверить значения на краях отрезка - максимум на отрезке не обязательно будет в критической точке.

[Степан Нихто]

Взять первую производную, найти точки, в которых она равно 0. Это будут критические точки.

 

Далее - взять вторую производную и вычислить её значение в найденных точках. Положительное значение второй производной даст точки минимума; отрицательное - точки максимума; нулевое - точки перегиба.

 

Да, необходимо не забыть проверить значения на краях отрезка - максимум на отрезке не обязательно будет в критической точке.

Да это всё понятно - только не говорит мне ни о чем.

Главное, ответ и так очевиден, вообще без формул: если в 10 экспериментах по условиям задачи нам желательно получить только один успех - с какой вероятностью нам лучше всего проводить эти 10 экспериментов? Любому ежу понятно, что 1/10 - и без всяких формул.

Но люди требуют математического обоснования.

А как эти производные делать - я фиг знает...

 

оффтоп: cмахивает на схему Бернулли с одним успехом (или промахом).

Она и есть. Для конкретного случая n = 10, k = 1.

[Trotil]

Я так и понял, что n=10.

Если начальная формулировка: нужно провести 10 испытаний, но так, чтобы только одно испытание было успешно, то испытание должно быть успешным с вероятностью 1/10. Это и есть математическое обоснование.

 

Более строго: характеристика некоторого испытания - его успешность. Требуется, "чтобы по условиям задачи нам желательно получить только один успех" - это означает по определению, что вероятность успеха должна быть 1/10.

 

Есть немного другая задача, из области статистики: допустим, произведено 10 испытаний, получился один успех. С какой вероятностью успешность будущих испытаний будет равна 1/10 (задача вычисления статистической погрешности)? (ведь в последующих десяти испытаниях может произойти и два сбоя, и ни одного - как повезет). Эта задача довольно сложная, и обычно требует дополнительных указаний, что поможет улучшить оценки.

[Степан Нихто]

Я так и понял, что n=10.

Если начальная формулировка: нужно провести 10 испытаний, но так, чтобы только одно испытание было успешно, то испытание должно быть успешным с вероятностью 1/10. Это и есть математическое обоснование.

 

Более строго: характеристика некоторого испытания - его успешность. Требуется, "чтобы по условиям задачи нам желательно получить только один успех" - это означает по определению, что вероятность успеха должна быть 1/10.

Вы будете смеяться, но я говорил тоже самое - ибо это совершенно очевидно. Но такой ответ не устроил. Говорят: "а докажите, что вероятность 1/10 больше любой другой вероятности".

 

Проблема уже неактуальна.

С помощью тех, кто алгебру еще не забыл - начеркал я им эту злополучную формулу.

 

А сама задача выглядела так:

"В преддверии юбилея форума ФОТ администратор форума разослал десяти случайно выбранным участникам следующее сообщение: «Администрация форума извещает Вас и 9 других участников о том, что каждый из вас получит денежный приз (одинаковый для всех), но при условии, что в течение недели один из вас (и только один!) пришлет ответное сообщение». После получения сообщения номинанты друг с другом не общаются. Как им следует поступить, чтобы максимизировать свои шансы получить призы?"

[Trotil]

Как им следует поступить, чтобы максимизировать свои шансы получить призы?"

315138[/snapback]

 

Интересная задачка:

 

Каждому взять 10 бумажек, написать числа от 0 до 9. Загадать число, перетасовать бумажки. Вытащить - если совпало - отправить сообщение админу.

 

Вероятность того, что они получат призы после такой стратегии: (9/10)^9 = 0.38

[Степан Нихто]

Каждому взять 10 бумажек, написать числа от 0 до 9. Загадать число, перетасовать бумажки. Вытащить - если совпало - отправить сообщение админу.

 

Вероятность того, что они получат призы после такой стратегии: (9/10)^9 = 0.38

Ответ совершенно правильный - правда я более заковыристые способы жеребьевки придумал.

 

Я думаю, переписка моя по поводу этой загадки поднимет вам тут настроение:

 

Нихто:

"ОТВЕТ: Каждый игрок должен провести с собой какую-нибудь лотерею с вероятностью победы 1/10. В случае выигрыша в этой "лотерее" отправить письмо в редакцию.

 

ОБОСНОВАНИЕ: Если вероятность выпадения некоего события 1/10 то при проведении 10 экспериментов есть неплохой шанс, что искомая вероятность выпадет ровно один раз.

Провести такую лотерею можно как угодно: хоть через генератор случайных чисел, хоть в казино, хоть в "Русское лото".

На примере лото: выбираем сначала любые 10 чисел (например, 21-30), из них выбираем любое число. Потом достаем бочонки (бочонки не из нашего интервала пропускаем). Первый бочонок из нашего интервала покажет нам - выиграли мы или проиграли. Вероятность, что выиграли - 1/10."

 

Модератор:

"Насколько неплохой?"

 

Нихто:

"Я так думаю, что 0.9^9, то есть 0,387 (порядка 39 %). Ну хоть что-то..."

 

Модератор:

"Покажите, что это максимальная вероятность."

 

Нихто:

"Может так?

Для того, чтобы всем выиграть вероятность 1/10 должна обязательно выпасть, но только одному.

Вероятность, что это случится с первым игроком:

1/10*0,9^9. Такая же вероятность у всех остальных 9-ти игроков. Поэтому их складываем.

1/10*0,9^9 + 1/10*0,9^9... и так 10 раз.

После сокращения получаем 1*0,9^0,9, т.е. искомое число 0,387..."

 

Модератор:

"Это вы написали, как получена итоговая вероятность. Но я не уверен, что она максимально возможная."

 

Нихто:

"А я почему-то уверен.

Если нам нужно случайное событие с вероятностью 1/10 то мы его и получим с наибольшей вероятностью, если проведем 10 экспериментов с вероятностью 1/10. При проведении таких же 10 экспериментов с вероятностью 1/9 или 1/11 общая вероятность начнет уменьшаться.

 

Не пойму я - доказательств чего вы вообще от меня хотите? Что это неправильная стратегия или что есть вероятность больше?"

 

Модератор:

"(Цитата) При проведении таких же 10 экспериментов с вероятностью 1/9 или 1/11 общая вероятность начнет уменьшаться.

 

Покажите это, я этого явным образом не вижу."

 

Нихто:

"Это что - надо написать формулу Бернулли и вместо p = 1/10, q = 9/10 подставить значения p = 1/9, q = 8/9 и p = 1/11, q = 10/11?

Ну там получается 0.385... и 0.386... соответственно. Чуть меньше, но меньше."

 

Модератор:

"Покажите, что точка максимума достигается, если им отправлять письмо с вероятностью 1/10, а не 1/11 или 1/23 или еще какая, и будет зачет."

 

Нихто:

"Понятно, что "вероятность (Z) 1 успеха (y) в серии из 10 испытаний (n) с вероятностью х" зависит только от одного показателя х: вероятности успеха в КАЖДОМ отдельном испытании.

Житейская логика подсказывает, что наибольшее Z будет при х = у/n = 1/10 = 0,1.

Как это доказывать - я не знаю, могу проверить только экспериментально.

Подставляя различные значения х можно убедиться, что если х больше 0,1 - то при уменьшении х растет общая вероятность Z, а если х меньше 0,1 - то при уменьшении х падает и Z.

х = 0,2 Z = 0,268435

х = 0,11 Z = 0,385392

х = 0,101 Z = 0,387399

х = 0,1 Z = 0,387420

х = 0,099 Z = 0,387399

х = 0,09 Z = 0,385137

х = 0,08 Z = 0,377727

 

Как и следовало ожидать, максимальное Z при х = 0,1."

 

Модератор:

"Я не вижу из ваших рассуждений, что если отправить письмо с вероятностью 1/18 или 67/758, то общая вероятность выиграть будет меньше. Без доказательства оптимальности выбранной стратегии задачу я вам не зачту, увы."

 

Нихто:

"Я не пойму, вы издеваетесь надо мною что ли?

Вы вообще понимаете, что я вам говорю? Или я тут сам с собой беседую?

Объясняю еще раз, как для военных.

Нам надо отправить только одно письмо из десяти.

Люди получают письма, проводят некие хитрые манипуляции, чтобы определить, отправлять ли им письмо или нет. Нам надо определить, какова вероятность того, что отправится только одно письмо.

Такую вероятность определяют по формуле Бернулли:

"Вероятность k успехов в серии из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p"

P = C(k из n)*p^k*q^(n-k)

 

Р - вероятность успеха нашего безнадежного мероприятия;

k = 1 (нас устраивает только такой вариант);

n = 10 (количество писем);

p - вероятность успеха некоего эксперимента, который проводит каждый получатель письма для того, чтобы определить - отправлять ему письмо или нет?

q - вероятность неуспеха (1-p);

C(k из n) - количество возможных комбинаций (1 из 10) = 10.

 

Из всех параметров в формуле изменять мы можем только параметр p.

Существует совершенно четкая зависимость Р от изменения параметра p:

Если p > 0,1 - при уменьшении p увеличивается Р;

Если p < 0,1 - при уменьшении p уменьшается Р.

Примеры расчетов я приводил. Точка изменения направления вектора Р приходится на p = 0,1.

 

То есть графиком формулы

P = 10*p^1*q^(10-1)

является несимметричная парабола с вершиной p = 0,1.

 

Поэтому любые другие значения p кроме 1/10 (1/18, 67/758, 1283/2502 или любые другие) приведут к уменьшению Р.

 

Вообще мне непонятно - почему я вам доказываю совершенно очевидные вещи?"

 

Модератор:

"Это совсем не очевидно. Примеры расчетов, которые вы приводили - это всего лишь 7 частных случаев. Нужно строго показать, что максимум функции достигается в точке p=1/10."

 

Нихто:

"Каким образом? График нарисовать?"

 

Модератор:

"График не будет являтся решением, тк точки по которым он будет построен - опять же, несколько частных случаев."

 

Нихто:

"Если честно, я не пойму, что вы от меня хотите.

Если построить график - то четко видно, что он сначала возрастает, а потом всё время убывает.

У этого графика очевидно есть вершина.

При взятии значений p - 0,099, 0,1, 0,101 четко видно что 0,099 это значение с возрастающей части графика, а 0,101 с убывающей.

Даже если предположить, что 0,1 не вершина (что само по себе очевидный бред) - то в любом случае вершина лежит в пределах 0,099 - 0,101. Тут разница в значениях настолько невелика, что в нашем примере этим запросто можно пренебречь, удовольствовавшись ответом 0,1 (погрешность 0,001).

Вы можете мне объяснить, что вы от меня хотите?

Правильный ответ я вам дал? Дал.

Доказал, что погрешность моего ответа не более 0.001? Доказал.

Неужели для ответа надо привести величину до 15-го знака?"

 

Нихто:

"(Цитата) График не будет являтся решением, тк точки по которым он будет построен - опять же, несколько частных случаев.

 

Стоп-стоп-стоп! Каких таких частных случаев?

Это график ДЛЯ ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ СЛУЧАЕВ (ДЛЯ ВСЕХ!!!).

Перечитайте еще раз мое объяснение для военных. Там всё популярно написано.

 

Модератор:

"Еще раз. У вас есть функция зависимости итоговой вероятности выиграть от вероятности одного из десяти игроков отправить письмо. Вы утверждаете,что максимальная вероятность достигается при p=0,1. Это нужно доказать! То, что вы перебираете(!) значения p->0,1 и получаете общую вероятность Р(А) меньше, не есть доказательством. Ровно как и построение графика."

 

Нихто:

"Стесняюсь спросить, а что вы считаете доказательством?

Если есть функция, есть установленное максимальное значение этой функции.

Что я должен доказать - что максимальное значение функции действительно максимально?

А то, что "дважды два - четыре" вам доказать не надо?"

 

Модератор:

"Не надо. Вы (уга)дали значение p=0,1. Вы пишите, что установили максимальное значение ф-ии? Чем оно установлено, вашим перебором? Повторяю, ваш перебор нескольких различных p(i) не является математическим обоснованием."

 

Нихто:

"А график является?

 

Вообще, не пойму я - о чем мы спорим?

О решении задачи или о вспоминании школьного курса алгебры?

Хорошо, я попрошу какого-нибудь школьника, он мне напишет формулу вычисления максимального значения функции. Получим те же самые 0,1.

Вам решение задачи надо или чтобы я тут формулу вспомнил?

Долго еще этот цирк будет продолжаться?"

 

Модератор:

"Я вам все написал."

 

Нихто:

"Как и обещал, спросил у школьников:

 

"Производная от 10х(1-х)^9 - это 10(1-х)^9 - 90x(1-x)^8

Приравниваем к нулю. Получаем две точки: x=0,1 и x=1. Это и есть точки экстремума.

Теперь, чтобы узнать, максимумы это или минимумы, ищем вторую производную и проверяем ее значение в найденных точках. Если значение положительное - это минимум, если отрицательное - максимум, а если равно нулю - то это и не экстремум вовсе.

Вторая производная равна 720x(1-x)^7 -180(1-x)^8. В точке 0,1 ее значение -43 с копейками, а в единице - ноль.

Следовательно, у функции 10х(1-х)^9 всего один экстремум, в точке 0,1, и это максимум. Так-то!"

 

Еще вопросы есть?"

 

Модератор:

"Ну вот и все."

 

Вот так вот из простой задачки целый цирк с конями получился...

[Степан Нихто]

Раз уж пошло дело про задачки - вот еще одна:

 

"Трое мафиозо так и не смогли выяснить, кто из них умнее, и решили стреляться. Они встают в вершины равностороннего треугольника со стороной 50 метров и стреляют по очереди (по кругу) до тех пор, пока не останется в живых только один. Первый в среднем попадает по цели 9 из 10 раз, второй — 8 из 10, а третий — 1 из 10. Каждый имеет право стрелять в кого угодно. Как каждому из них нужно действовать, чтобы увеличить свои шансы выжить?"

 

Нифига не пойму, в чем тут подвох...

[Trotil]

Если я правильно понял условие, то нужно стрелять в самого меткого.

[Ефимов Павел]

Третьему мафиози (1/10) нужно стрелять в воздух (или в землю), пока один из противников не умрёт.

[Фыва Цукен]

Далее - взять вторую производную и вычислить её значение в найденных точках.

315132[/snapback]

 

это уже не обязательно. достаточно просто посчитать значение функции в данных точках

[abr]

Равенство второй производной нулю не означает, что тут не может быть экстремума. Это означает, что нужны дополнительные исследования. Пример - х в 4-й степени.

[Степан Нихто]

Если я правильно понял условие, то нужно стрелять в самого меткого.

Третьему мафиози (1/10) нужно стрелять в воздух (или в землю), пока один из противников не умрёт.

 

Ну собсно, да. Тут других-то вариантов и в принципе нет.

Просто кое-кто считает, что вышесказанное противоречит нижеследующему:

"Когда остается двое, выбор цели очевиден - поэтому можно смотреть только варианты, когда их трое. Естественно, выносить в первую очередь надо самого опасного игрока. Единственное, если самый слабый (1/10) стреляет первым, ему лучше вообще не стрелять (так самые большие шансы выжить) - но если стрелять, так в самого сильного."